把加法与乘法结构拆掉再回复,意义首要

2019-10-19 作者:奥门金沙手机娱乐网址   |   浏览(185)

提醒:本文中将会出现大量不影响阅读的数学术语

据《朝日新闻》,望月新一关于ABC猜想的论文可能将要发表,审核它的期刊是《数理解析研究所公刊》(PRIMS)。

2012年8月30日,43岁的日本数学家、京都大学教授望月新一在数学系主页上贴了4篇论文,通过总共长达512页的艰深推理(当代数学论文多为10~20页),他宣称自己解决了数学史上最富传奇色彩的未解猜想:ABC猜想。

媒体对此的报道大抵聚焦在两点上:一是这个期刊就是他的工作单位主办的,一是这个论文几乎无人能懂。

ABC猜想在27年前由Masser和Oesterlé分别独立提出。自那时以来,鲜有数学家敢于尝试证明它的正确性,而先前号称自己证明了该猜想的人,经由数学界检查,他们的证明也都因各种错漏而被否认。 望月新一解决难题的能力广为人知,所以数学界必定会认真研究他的论文,从全局的思维过程到最细枝末节的精巧构造,就正确与否给出一个答案。

作为一个数学研究者,我个人并不担心望月新一的利益冲突问题,不但因为数学界有一套相当完备的系统用以避免利益冲突,在选定编辑和审稿人时有良好的避嫌标准,更重要的是:他没有动机。他已经功成名就,不需要什么文章。数学这种东西,对就对,错就错,不存在编数据或者实验造假,一切细节都在文章里。要是错了,无论强行发表在什么期刊上,也终有一天会被发现,而一发现就无可抵赖,只能重新修补。

但是,问题来了:谁能看得懂这套证明,并且明白证明背后建立起来的新数学理论的哲学?James D. Taylor在著名数学论坛MathOverflow上发了 一个帖子 ,很多数学家,包括菲尔兹奖得主陶哲轩和望月新一的好友、牛津大学教授金明迥也参与了讨论;最后大家得出的答案是:没人看得懂。

但是他的理论绝不仅仅是一个“几乎无人能懂”的怪物而已。它所试图解决的根本数学问题,它背后的当代数学界的面貌,它反映出的做数学研究是怎样的状态,这里面还有太多的故事并不是、也不应该是只有几个人能懂。

现代数学研究的机制已经趋于成熟,一个问题总是基于前人的工作和对相关问题的理解而提出的,解决问题的机制也多为已知方法的变种。2003年,佩雷尔曼证明了统一人类对三维宇宙认识的庞伽莱猜想,用的是上世纪80年代汉密尔顿引入微分几何的研究方法“Ricci曲率流”;几百年前费马声称空白太窄写不下证明过程的费马最后定理,怀尔斯爵士在上世纪上世纪80年代证明该猜想时,用的也是上世纪50年代建立起来高阶椭圆曲线的模形式理论。

甚至也许可以说,这些故事能让人直观地感受到:现代数学是什么。

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破题

望月新一的研究领域,是所谓的“远阿贝尔几何学”。如果一句话解释这个领域的话,我只能这样写:

有理数的绝对伽罗华群,以至任意代数簇的平展基本群,它们“远离阿贝尔”的部分,也就是不符合交换律ab=ba的部分,会如何影响相应代数结构的性质。

看不懂这句话是正常的。要解释这个领域研究的是什么,可能需要整整一篇文章(可以参看

是的,对于望月新一的体系,我其实也只算理解基础,是数学界内部的吃瓜群众。但面对这个体系,很多数学家的境况并不比我好得多。包括菲尔兹奖得主陶哲轩,包括望月新一的恩师法尔廷斯,他们都抱怨望月新一的证明太简略太难懂。现在,懂得整个证明的,除了望月新一之外,据说只有十几个人,大部分在日本,其他在美国和法国。

但是,如果他是对的,那就意味着代数几何的重大革新。

克莱因曲面的模曲线

一个人能够改变一个学科吗?

一个新的证明或者理论体系,给数学界带来重大影响,这并不是第一次。

大卫·希尔伯特也许是最重要的现代数学家之一,光是他在1900年提出的那23个数学问题就差不多贯穿了整个世纪。他的成名之作,那篇“终结了不变量理论”的论文,在当时就引起了巨大的争议。此前,不变量理论的大多数进展都基于具体的计算,需要给出具体的结果。这样的证明又叫构造性证明。但希尔伯特的证明不属此列,而分属“存在性证明”,能断言某个数学对象的确存在,但对于如何计算却绝口不提。他一开始投稿恰好碰上了当时的“不变量之王”哥尔丹。哥尔丹对这样的证明颇有微词,他的退稿评价是:

这不是数学,这是神学。

但最终希尔伯特幸得克莱因的保荐(“这无疑是这本杂志发表过有关一般代数的最重要的工作”),论文得以发表。正因为无需具体给出构造,存在性证明要比构造性证明要更为简洁有力,也因此逐渐被广泛接受。即使是一开始拒稿的哥尔丹,最后也承认了希尔伯特的工作,“即使是神学也有其价值”。希尔伯特之后也因为公理化的工作以及其他数学成就,跻身当时数学界的顶尖。

另一位为数学界作出巨大贡献的德国数学家康托尔,他的命运却大不相同。在研究傅里叶分析时,康托尔领会到无穷之后仍有无穷的无穷。他从最基础的集合论开始,建立了一个全新体系,描述了超越无穷的无穷,也就是超穷[songshuhui.net/archives/90745]。集合论中的很多基础结果,就出自他的手笔。

但他的研究甫一发表,就遭到许多顶尖数学家的攻讦。庞加莱说他的想法就像“严重的疾病”,正在感染数学这一学科。当时执德国数学界牛耳的克罗内克,公开反对康托尔关于超穷的理论,甚至到达了人身攻击的地步。他称康托尔为“科学骗子”、“背叛者”、“腐蚀了青年”,近乎偏执地指责着康托尔和他的理论。

但数学毕竟是数学。经过曲折发展之后,集合论成为了现代数学的基础,成了数学系学生的必修课。正是希尔伯特作出了这样的断言:

身处康托尔跟我们一道展开的天堂内,我们屏息于惊叹之中,知道无人能将我们由此驱逐。

可惜,康托尔本人的命运却远没有那么光明。也许是因为得不到理解,也许是因为这些无休止的攻击,康托尔患上了抑郁症,一直没有痊愈。他的晚年恰逢第一次世界大战,贫困加剧了战争带来的饥谨。心脏病给他的最后一击,也许是种解脱。

有好几个人把望月新一比作上一代的数学家格罗滕迪克。格罗滕迪克的遭遇处于康托尔和希尔伯特之间。他的数学风格高度抽象,但却能得出实际的结果。引用我之前写的:

他谈论的数学实在过于抽象,难以理解。但这就是格罗滕迪克做数学的风格:尽可能从数学对象中将不必要的细节抽象出来,抽象得一般的数学家都会以为剩下的只有“虚空”,然而他仍然能从“虚空”中抓住某些东西,从而建立他的理论,完成他的证明。用格罗滕迪克本人的说法,如果把数学问题比作坚果,大部分数学家做的就是用锤子和凿子把坚果凿开,而他的做法则是将坚果浸在水里,慢慢软化它的外壳,又或者让它经受风吹日晒,然后等待合适的时机,坚果自然就会裂开。

对于大部分数学家来说,这个过程太漫长,也许只有拥有深刻洞察力的格罗滕迪克,才能在能接受的时间内,用这种方法解决问题。这也是他的数学难以被理解的原因之一:他几乎不考虑具体的示例,都是从尽可能抽象的角度出发,思考支配某个数学问题背后的宏大数学结构。有时候这也会闹出笑话。有一次讨论数学的时候,有人向格罗滕迪克提议考虑一个特定的质数作为例子。“你的意思是找一个真实的数字?”格罗滕迪克有点疑惑。对方点了点头。他回答:“好吧,我们考虑57这个质数。”57当然不是质数,但格罗滕迪克大概没有注意这一点,他从来不考虑具体的例子,一切从抽象出发。

格罗滕迪克的这种风格,让他年纪轻轻就全套改写了代数几何所用的数学语言,给这个领域带来了全新的抽象思维方式,让代数几何成为数学中可能是最抽象最深奥但也最有力量的分支。他编写的EGA和SGA是代数几何的入门宝典,他的定理和想法,尤其是标准猜想,仍然留在众多代数几何学者的心头。

当然,新理论新证明被彻底摧毁的例子也比比皆是。在2004年,美国数学家路易·德·布朗奇(Louis de Branges)在自己的个人页面上贴出了一篇124页的论文,声称利用自己发展的基于希尔伯特空间的一套体系,证明了数论中最引人注目的黎曼猜想,跟望月新一的情况相当相似。因为德·布朗奇此前曾证明另一个著名猜想——比伯巴赫猜想(Bieberbach conjecture),所以也有人关注他的证明。但直至现在,论文经过多次修改,似乎仍然站不住脚。目前数学界普遍认为他并未能证明黎曼猜想。

不停有人提出新的想法,即使一开始不被接受,历经时间洗练,终将得到应有的评价,而数学也就此进步。虽然提出新想法的人,他们各自有需要承受的命运,不以他们的贡献为转移。这就是数学史。

而望月新一的理论,就是在当下展开的历史。他的理论是对是错,只能拭目以待。

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