奥门金沙手机娱乐网址:读书笔记,成就牛顿的

2019-09-20 作者:奥门金沙手机娱乐网址   |   浏览(120)

原标题:成就牛顿的发明,为何成了追随他一生的幽灵?

乐乐老师/文

出品:科普中国

人类社会进步的车轮滚滚向前,在前进的过程中,思想变革与技术革新总是同步进行。历史上最恢宏的思想变革莫过于文艺复兴。

制作:中国科学院数学与系统科学研究院 黄逸文

11至14世纪,欧洲经济复苏并发展,城市兴起,中南欧的市民和部分知识分子想用一种新的文化体系代替当时保守的基督教,便尊崇古希腊与古罗马文化,文艺复兴开始。经过几个世纪的演变,文艺复兴在16世纪达到顶峰。同时,生产力飞速发展,资本主义开始萌芽,人类需求向自然科学提出了众多课题,迫切需要力学、天文学等基础学科给予解答。归纳起来,有两个基本问题:

监制:中国科学院计算机网络信息中心

  1. 已知路程求速度;

  2. 已知速度求路程。

微积分,无疑是人类历史上最伟大的思维成果之一。

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笛卡尔

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此时,一个高歌“我思故我在”的神学者将几何与代数相结合,创立了“解析几何学”,他就是笛卡尔(R. Descartes)。这是一个极端了不起的工作,这让他成为了人们常说的“解析几何之父”。但是他还有另一个更为响亮的名头——“近代科学的始祖”(由于在哲学方面的杰出贡献,黑格尔称他是“现代哲学之父”)。在笛卡尔通透的直角坐标系中,描述运动的函数关系可以和几何中曲线和曲面问题的研究完成惊人的统一。和力学的两个问题对应,还有两个基本几何问题:

牛顿与莱布尼茨

  1. 已知曲线求切线;

  2. 已知曲线求面积。

它由牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)于17世纪创立。然而,伴随着它的诞生,一个全新的概念——无穷小量即如影随形。它在微积分的规则里,时而显露参与运算,时而隐形全身而去。没有人知道它确切的行踪,但在一行行严密的数学证明中,它的身影却如幽灵般始终挥之不去。无穷小量,成了牛顿终身的梦魇,也成为后人诟病微积分最大的缺陷。直到19世纪,分析的严格化开始展露曙光,无穷小量的迷思终于在困扰世人一个半世纪之后得到澄清。

我们现在当然知道,所谓的力学和几何的两个基本问题,其实对应了微积分中的微分与积分,但是在它们出现之前,还有这许多的故事。

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  • 1615年,开普勒在其《酒桶的立体几何学》一书中,利用阿基米德的“穷竭法”求出387种旋转体体积;

  • 1635年,意大利数学家卡瓦列利(B. Cavalieri)在其《不可分连续量的几何学》一书中,引入了所谓的“不可分量”,提出卡瓦列利原理,它是计算面积和体积的有力工具;

  • 1656年,英国人沃里斯(J. Wallis)把卡瓦列利的方法系统化,使“不可分量”更接近于定积分的计算,并在其《无穷算术》中提出了极限的思想;

  • 1638年,最著名的业余数学家费马在其《求最大值和最小值的方法》一书中,给出了求曲线的切线和函数极值的方法;

  • 牛顿在剑桥大学的老师巴罗(I. Barrow)不仅给出了求曲线切线的方法,还揭示了求曲线切线和求曲线所围成的面积这两个问题的互逆性。

古希腊哲学家芝诺

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事实上,早在公元前500年,古希腊就已经萌发了微积分的核心思想——极限逼近。著名的哲学家芝诺(Zeno)曾经提出四个芝诺悖论,它们可以看做是极限思想最早的萌芽。在第一个悖论中,芝诺认为"运动不可能"。比如一个物体要从A点运动到B点,则首先需要运动到A和B的中间点C;而如果物体要运动到C点,则需要首先运动到A和C点之间的中点D。以此类推,这个二分法可以无限进行下去。这样的中点有无穷多个,所以物体永远也到达不了B点。因此,物体根本不可能运动,因为它被道路的无限细分所阻隔。

莱布尼茨和牛顿

基于同样的道理,芝诺遂提出更多的悖论,诸如"落后的兔子永远追不上乌龟"、"飞矢不动悖论"、"运动场悖论"等等。现实生活中,人们显然可以把物体从A点移动到B点,落后的兔子也会很快追上乌龟。所有这些,都指向了芝诺悖论的谬误。然而,芝诺悖论里所体现出对空间、时间、无限、连续和运动的看法,给古希腊造成了深深的困惑。这样的困惑,一直延伸到了微积分的诞生。

高潮来了,17世纪还出现了两个大牛人,牛顿莱布尼茨

不仅如此,古希腊科学家阿基米德(Archimedes)使用"穷竭法"来计算圆的周长和面积,其核心方法已经非常接近17世纪微积分的思想。除了古希腊,古代中国的科学家也在探索微积分的道路上取得了惊人的进展。魏晋时期最伟大的数学家刘徽发明了割圆术来计算圆周的精确数值。随后,割圆术被南北朝时期的数学家祖冲之发挥到了极致。他计算出圆周率介于3.1415926至3.1415927之间这一惊人的成就。这一成果甚至领先外国1000多年。

牛顿大家都很熟悉,是历史上最伟大的数学家,没有之一,也是伟大的物理学家,另外还是一个神学家。此外,他还是英国的皇家学会会长和皇家铸币厂厂长,浑身散发着贵族的光芒。相反,莱布尼茨是一个典型的屌丝式牛人,本来姓莱布尼茨(Leibnitz),但是他经常自称男爵,便把名字改为莱布尼兹(Leibniz),显得有贵族气质(身为中国人,我承认我看不出来),可惜后来无人知道他到底是否拥有此头衔。大家知道的事实是,作为律师的他经常往返各大城镇,很多数学公式都是在颠簸的马车上推导出来的。

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不管是贵族还是屌丝,牛顿和莱布尼茨两人最终独立地创立了微积分。其中牛顿是从力学的角度出发,而莱布尼茨是从几何学的角度出发。牛顿于1665年创造了流数法,并据此从行星运动三大定律推出了万有引力定律;莱布尼茨则从变量增量引入微分,突出了切线的概念。牛顿的“流术”其实就是导数,而莱布尼茨玩的是微分,它们的本质是一样一样的。

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微积分横空出世,立刻显示出强大的威力,解决了很多的实际问题。但是微积分当时并没有确切的数学定义,而且一些基本公式的推导有一些明显矛盾的地方。

阿基米德与欧几里得

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古希腊的数学在历史上留下了无数绚丽的瑰宝,但随着希腊文明的衰落,也一起进入了长达千年的沉寂期。欧洲数学从此停滞不前,只有欧几里得(Elucid)的《几何原本》和阿基米德(Archimedes)的思想随着数学中心的转移来到了阿拉伯世界。从公元9世纪到16世纪,阿拉伯的数学进入了鼎盛时期。阿拉伯的数学家不仅继承了源自希腊的几何思想,还独自创立了代数学科。直到欧洲文艺复兴过后,东西方的交流通道再度打开。曾经失传的古希腊先贤们的思想结合阿拉伯数学家600多年的数学结晶再次回到了它的故乡-欧洲。

上述这些运算看起来有很大的随意性。马克思挖苦说:“这种新发现的计算法,就是通过数学上肯定是不正确的途径得出了正确的结果”。很容易就可以看出,导致矛盾的原因在于:“无穷小量”到底是零不是零?

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可惜,当时牛顿和莱布尼茨两位大牛都无法回答这一问题,英国主教还曾刻薄地说“无穷小量是逝去的量的鬼魂”。这样就导致了历史上的第二次数学危机。

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一百多年来,大家好像是达成了共识,三缄其口,统一回避这一尴尬的事实。但是,随着“热传导”这一大课题的研究,这一问题到了无法回避的地步。

开普勒与伽利略

“避无可避,无需再避。”

14世纪后,欧洲各国皇室出于航海历的需要,开始出钱资助科学家研究天地星辰的规律。德国天文学家开普勒(Kepler)通过几十年的观星数据,最终发现太阳系的行星沿椭圆轨道运行;意大利科学家伽利略(Galileo)也发现投掷物体会沿着抛物线运动。对天文和力学的研究成果,进一步激发了人们对曲线研究的热情,代数学在这一阶段得到了极大发展。通过代数方法寻求几何问题的解决方案,成为研究曲线运动新的途径。这一切,都为解析几何的发现奠定了基础。

轰轰烈烈的微积分基础重构过程开始了。

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  • 1811年,傅里叶提出了三角级数,可以将任意函数表示成无穷项三角函数之和的形式;

  • 1821年, 法国数学家柯西(Cauchy)在《分析教程》一书中,给出了极限概念比较精确的分析定义,并以极限概念为基础,给出了无穷小量、无穷级数的“和”等概念的较为明确的定义;

  • 1855年,德国数学家维尔斯特拉斯(K. Weierstrass)(数学家都喜欢他,大一学生都痛恨他)总结了前人的工作,给出了极限的严格定义。

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